Numeri naturali e armonia sonora: la lezione di Pitagora

Postato il by roberto_fantini

Nomozartn so scrivere in modo poetico: non sono un poeta.
Non so distribuire i colori con tanta arte da far loro gettare ombra e luce: non sono un pittore. 
Non so neppure esprimere i miei sentimenti o i miei pensieri con i gesti: non sono un ballerino. 
Ma posso farlo con i suoni: sono un musicista. W. A. Mozart

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morrison

Un giorno anche la guerra si inchinerà al suono della chitarra.
Jim Morrison

Cos’è il suono?

Il suono è una percezione sensoriale prodotta da un’oscillazione di un corpo vibrante. La vibrazione si propaga nell’aria (o in un altro mezzo elastico come per es. l’acqua) come un’onda di pressione longitudinale finché non raggiunge il nostro orecchio che, dopo un complesso insieme di passaggi, invia un segnale elettrico al cervello che lo elabora e lo classifica come SUONO!

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Caratteristiche fondamentali in sintesi:

1) Intensità. E’ la QUANTITA’ di suono. E’ proporzionale al QUADRATO DELL’AMPIEZZA dell’onda sonora. Spesso si utilizza una scala di misura espressa in DECIBEL: minimo 0 dB massimo 120 dB (soglia del dolore). 0 dB corrispondono a 20 µPa di pressione dell’aria; 120 dB a 20 Pa. Il livello di intensità sonoro è espresso in scala logaritmica dalla formula: L=10Log\frac{I}{I_0} . L’intensità sonora I si misura in W/m^2. Il livello minimo di intensità sonora percepibile è I_0 = 10^{-12} W/m^2; quella massima è intorno a 1 W/m^2. Se il livello di intensità sonora aumenta di 10 dB allora l’intensità sonora aumenta di 10 volte !

2) Altezza. E’ la FREQUENZA dell’onda sonora. Il nostro orecchio percepisce le frequenze comprese fra circa 20 Hz e circa 20000 Hz, ma non con la stessa efficienza. In realtà, pochissimi individui sono in grado di udire in un intervallo così ampio. Molto più spesso la massima frequenza che riusciamo ad ascoltare è inferiore a 16.000 Hz. Alcuni animali hanno una gamma udibile maggiore di quella dell’uomo, in particolare per quanto riguarda il limite superiore. La soglia di udibilità dei cani si estende fino a 45.000 Hz, i gatti arrivano a 70.000 Hz ed i pipistrelli oltre 100.000 Hz.

Frequenze di udibilità fra 1000 Hz, 6000 Hz, …… 20000 Hz

3) Timbro. E’ la QUALITA’ del suono ossia la MISCELA di frequenze, tipica di ogni strumento musicale o di ogni voce umana che ci permette di distinguere un LA a 440 Hz prodotto da un violino da un LA a 440 Hz prodotto da un flauto (spettro di Fourier).

Misura della velocità del suono

Un tentativo fu fatto già da Newton che effettuò misure incredibilmente precise (entro qualche % del valore noto oggi) utilizzando il fenomeno dell’eco nel porticato del Trinity College di Cambridge lungo 65 m. Egli riuscì a costruire un pendolo di lunghezza tale che il suo periodo corrispondesse al tempo di andata e ritorno del suono, che era comunque decisamente inferiore al secondo.

La velocità del suono si può derivare teoricamente dalla formula: v=\sqrt{\frac{K}{\rho}} con K = modulo di comprimibilità (per es. dell’aria) e \rho è la densità del mezzo.

v=331+0.62\cdot t   m/s con t  misurata in °C. Per esempio a t = 20 °C   v = 344 m/s.

Esperimenti

1° Esperimento “alla Newton”: misura della velocità del suono con l’utilizzo di un tubo di plastica chiuso a una estremità.

2° Esperimento di RISONANZA fra due diapason.

    Frequenza di risonanza di un bicchiere

Frantumare un bicchiere con il suono

Risonanza meccanica di oscillatori armonici su PHET

Formule utili:
\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0

\nu=\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m} }

v=\lambda\nu

Il Tacoma bridge

3°  Battimenti

Il battimento si produce quando due suoni di frequenze simili si sovrappongono. In tal caso si sente un suono che ha una frequenza media fra i due suoni base e un’ampiezza che varia lentamente, con una frequenza data dalla differenza fra le frequenze generatrici.

Matematicamente se il suono 1 è descritto dall’onda: S_1=A cos(\omega_1\cdot t) e il suono 2 da:  S_2=A cos(\omega_2\cdot t) la sovrapposizione è:  S_1 + S_2=S=2A cos[\frac{(\omega_1-\omega_2)}{2}\cdot t]\cdot cos[\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}\cdot t] (formule di prostaferesi).

Sovrapposizione e battimenti con Geogebra

Suono di un battimento a 2 Hz

4° Spettro di un LA prodotto da un diapason e di un LA prodotto da un violino;

ONDE   STAZIONARIE   SU   UNA   CORDA

Si ottengono quando si sovrappongono due onde che si muovono in verso opposto su una corda in tensione fissata ai due estremi (Geogebra).

Il concetto di armonica.

Lunghezza d’onda =  2L   ==>   Frequenza = f_1 (armonica fondamentale o prima armonica, per esempio DO 1)
Lunghezza d’onda =     L   ==>   Frequenza = f_2=2 f_1
(seconda  armonica, DO 2   ottava superiore)
Lunghezza d’onda = 2/3 L  ==>   Frequenza = f_3=3f_1=\frac{3}{2}f_2
(terza armonica, QUINTA di DO 2  ossia  SOL 2)

Harmonic_partials_on_strings_Note

DO2 (ottava di DO1,  2/1 di DO1);   SOL2 (quinta di DO2,  3/2 di DO2);  DO3 (quarta di SOL2,  4/3 di SOL2) ;  MI 3 (terza di DO3,  5/4 di DO3);   SOL 3 (quinta di DO3,  3/2 di DO3); 

MUSICA    E    MATEMATICA

 “La musica è il suono della matematica”
Mizler, allievo di Bach (1738)

Lo stretto rapporto che intercorre tra la musica e la matematica fu studiato sin dall’antichità: un esempio classico è dato dalla scuola pitagorica (“Tutto è numero”), a cui si deve la scoperta di una “REGOLA MISTICA”:

i suoni gradevoli di una scala musicale sono prodotti da corde le cui lunghezze sono rapporti fra numeri interi: una corda dimezzata (1/2) suona l’ottava superiore, ridotta ai suoi 2/3 la quinta, ridotta ai suoi 3/4 la quarta, 4/5 la terza  e così via

Le teorie della scuola pitagorica sulle armonie musicali riflettevano anche un’antica visione cosmologica, nella quale un’armonia universale era generata dal movimento di sfere celesti di cristallo che in un certo senso suonavano una musica cosmica (cosmo = ordine).

Nel mondo greco il cosmo era paragonato a una scala musicale, dove i suoni più acuti erano assegnati a Saturno e alle stelle fisse. Per Filolao, matematico e astronomo pitagorico, il mondo è armonia e numero, e tutto è ordinato secondo proporzioni che corrispondono ai tre intervalli fondamentali della musica: 2:1 (ottava), 3:2 (quinta) e 4:3 (quarta).

pianeti

Le scoperte di Pitagora mettevano in diretta relazione la nostra percezione dei suoni con grandezze misurabili: per esempio la lunghezza della corda messa in vibrazione. Era una sorta di TEORIA SCIENTIFICA DELLA MUSICA. In altre parole, si era costruito un MODELLO matematico della musica che poteva prevedere nuove assonanze e dare ragione dell’immenso e, all’apparenza, misterioso ordine cosmico in termini di semplici rapporti matematici. Un vero successo!

Temperamento  pitagorico

Per costruire la scala musicale, il metodo pitagorico utilizza il rapporto di quinta (3/2) come segue:

Sol1 è la QUINTA di Do1 e quindi la sua frequenza è 3/2 quella di DO1.
Analogamente Re2 è la QUINTA di Sol1 e quindi la sua frequenza è 3/2 di Sol1 ossia 9/4 DO1. Re1 è un’ottava sotto Re2 e ha in definitiva una frequenza di 9/8 di DO1.

Diviene ora possibile utilizzare i rapporti di quinta e ottava per ricavare le altre note della scala.

Il TONO ha un rapporto 9/8 e si ottiene il  Mi1 che ha una frequenza di 81:64 .
Il Fa1 si ottiene dal Sol1 dividendo per 9/8 ottenendo 4/3.
Ora, fra il Mi1 e il Fa1 c’è un rapporto di MEZZO TONO che vale:
4/3 : 81/64 = 256/243
Il La1  è 9/8 di Sol1 e quindi 27/16.
Il Si1  è 9/8 di La1 e quindi 243/128.
Infine il Do2 è  256/243 del Si1 e, correttamente, 2.

QUINTA   ( Do1  –  Sol1)                                                    QUINTA  (Sol1 – Re2)

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Nota: Do1 Re1 Mi1 Fa1 Sol1 La1 Si1 Do2 Re2
Frequenza: 1 9:8 81:64 4:3 3:2 27:16 243:128 2 9:4

Si noti che in questo modo esistono due soli intervalli (rapporti di frequenza) tra suoni consecutivi: il tono, corrispondente a 9:8, e il semitono o limma pari a 256:243.

File:Ciclo delle quinte.JPG
Ciclo delle quinte

La scala pitagorica presenta però diversi inconvenienti:
1) la composizione di 2 semitoni non dà un tono. (256/243)^2 < 9/8 .   Il rapporto si chiama “Comma Pitagorico”

2) la nota ottenuta alla fine del ciclo delle quinte è “stonata” rispetto all’originale.
Ad esempio, se partiamo dal Do1 con frequenza 1, dopo 12 quinte otteniamo:
Do8 = (3/2)^12 = 531441/4096  = 129,7  che non è (e non può essere) una potenza di 2 e quindi non può essere un DO. La differenza è ancora il comma pitagorico.

Due parole su KEPLERO

Giovanni Keplero nel XVII secolo, scrisse il libro Harmonices Mundi, nel quale venivano descritte le consonanze fra percezioni ottiche, forme geometriche, musica e armonie planetarie. Secondo Keplero, il punto d’incontro fra geometria, aritmetica e cosmologia è rappresentato dalla musica delle sfere. Keplero, superò il modello statico delle sfere di concezione pitagorica – copernicana in favore di un modello dinamico, trasformando le orbite circolari in orbite ellittiche che i pianeti percorrono a velocità variabili. Egli attribuì a ogni pianeta non un singolo suono ma un’intervallo di suoni, la cui nota più grave corrispondeva alla velocità minima che il pianeta teneva durante la rivoluzione attorno al Sole in afelio,  quella più acuta alla velocità massima in perielio.

« La terra canta Mi, Fa, Mi: potete dedurre persino dalle sillabe che in questo mondo non vi è che Miseria e Fame »  1619

L’armonia delle sfere di Keplero

Risonanza per le LUNE di Giove. Esse “suonano” una nota e le due ottave successive.

Conclusioni

“La musica è il piacere che la mente umana prova quando conta senza sapere di farlo“. Leibniz

Pubblicato da roberto_fantini

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